Вычисление производных - примеры

Производная сообщает нам для набора переменных X и Y коэффициент изменения Y для очень малого (критического) изменения X:

Например, рассмотрим некоторую функцию Y=f (X); производная этой функции измеряет коэффициент изменения Y относительно (при малом изменении в) X. Это записывается как:

Производные находятся путем оценки отношения приращений функции f (X). Отношение приращений описывает изменение Y при изменении X на единицу:

Значение X изменяется от (его начальное значение) до ; это изменение - представлено в виде . Следующий шаг - извлечение производной - представляет собой решение отношения приращений для незначительно малых измениий в X:

Концепция наклона кривой является геометрической составляющей частью концепции производной. Производная кривой в точке "A" равняется наклону кривой в этой точке, который равняется наклону прямой тангенса к этой кривой в точке "A".

A.Простые правила дифференциации:

1. Рассмотрим степенную функцию . Производная этой функции относительно X:

Примеры:

Рассмотрим функцию ; 

Рассмотрим функцию ; 

2. Рассмотрим функцию kX, где k - константа. Производная этой функции относительно X:

Примеры:

Рассмотрим функцию 

Рассмотрим функцию

Рассмотрим функцию

В общем, .

Частные производные:

Некоторые функции включают в себя больше одной переменной. Принимая во внимание эти типы выражений, нас будет интересовать эффект изменения одной переменной. Все другие переменные принимаются за константы. Из нижесказанного следует понятие частной производной. Рассмотрим выражение типа X*Y. Частная производная этого выражения относительно X обозначается:

Это запись представляет производную выражения X*Y относительно переменной X, принимая переменную Y за константу (то есть при оценке частной производной этого выражения Y*X, переменную Y считают константой). Затем, следуя нашим правилам дифференциации констант, мы имеем:

Примеры:

Рассмотрим функцию .

Рассмотрим функцию .

Рассмотрим функцию .

Рассмотрим функцию 

Рассмотрим функцию 

Рассмотрим функцию