Практические задачи: статистика - Рассмотрите параметр, который имеет нормальное распределение по совокупности

1. Рассмотрите параметр  , который имеет нормальное распределение по совокупности, имеющую дисперсию. Затем, рассмотрите две формулы оценки и этого параметра . Эти две формулы оценки имеют следующие характеристики:

~ N(,) и ~ N(2, ).

a) Смещена ли она хоть одна из этих оценок? Объясните. Отвечая на этот вопрос Вам необходимо знать, что означает термин "несмещенный", почему нужно знать эту концепцию, как можно определить смещена ли формула оценки или нет.

b) Что Вы можете сказать об относительной эффективности этих двух оценок? Разъясните свой ответ. Отвечая на этот вопрос Вам необходимо знать, что означает термин"эффективности", почему нужно знать эту концепцию, и как можно идентифицировать, действительно ли формула оценки эффективна.

2. Пусть X - нормально распределенная случайная величина со средним значением и дисперсией . Рассмотрим задачу оценки  из случайной выборки наблюдений по X₁, X₂,. . . , X_n, где все Х независимы. Следующие 2 формулы оценки:

^{(i. ) =} (1/n)*

^{(i i i.)}

Определите, не смещена ли каждая из формул оценки и вычислите их дисперсии. Что Вы можете сказать об относительной желательности этих трех формул оценки? То есть, какая является лучшей формулой оценки? Используйте примеры для аргументации вашего ответа, и вы должны знать, что означают термины "желательный" и "лучший".

3. Завод производит шины. Через типичную неделю число произведенных шин представляет собой случайную величину с нормальным распределением и средним уровнем производства 174 шин (то есть среднее значение 174) и стандартным отклонением 9 шин.

a) Какова вероятность того, (или как много случаев будет) что завод выпустит больше чем 190 шин в заданную неделю?

b) Какова вероятность, что завод произведет между 160 и 180 шинами в заданную неделю?

c) Менеджер завода по производству шин хочет сообщить своим заказчикам с вероятностью 95 %, что уровень производства будет падать в пределах некоторого диапазона от Xнижний до Xверхний. Каковы должны быть эти значения ?

4. SW-Шина, изготовитель шин, обнаружила, что срок службы самой лучшей шины представляет собой нормальную случайную величину со средним значением 30,000 миль и стандартным отклоненим 2,000 миль. Изготовитель желает дать гарантию на эту шину для, по крайней мере, "X" миль с полным возвращением денег клиента, в случае, если шина не прослужит дольше этого срока. Если изготовитель рассчитывает, что деньги придется вернуть не более 1% покупателей, то какое должно быть значение X ?

5. Предположим, что X - нормально распределенная случайная величина со средним значением, равным 8 и дисперсией, равной 16. Найдите вероятности:

a) P (6 < X < 10).

b) P (X < 0).

c) Два значения X, ограничивающие78.5 % площади под кривой.